SIR / SEIR モデルの歴史と周期性の数理構造1. 歴史概要1.1 疫学における起源SIR モデルは 1927 年、Kermack & McKendrick により疫学分野で提案された。 感染症流行の「立ち上がり」「ピーク」「収束」を数理的に理解するための 常微分方程式モデルである。 1.2 SEIR への拡張潜伏期間を明示的に扱う必要から、SIR に潜伏状態 $E$ を追加した SEIR モデルが導入された。 1.3 数学的発展と応用20 世紀を通じて、SIR / SEIR モデルは数学的に洗練され、 多段階潜伏モデル、分布遅延モデル、ネットワークモデルなどへ拡張された。 COVID-19 以降は、マクロ経済学の動学モデル（DSGE）にも組み込まれている。 2. SEIR モデルの基本構造2.1 連続時間 SEIR 方程式状態変数：
SEIR 方程式： \[ \begin{aligned} \dfrac{dS}{dt} &= -\beta S I + \delta R, \\ \dfrac{dE}{dt} &= \beta S I - \sigma E, \\ \dfrac{dI}{dt} &= \sigma E - \gamma I, \\ \dfrac{dR}{dt} &= \gamma I - \delta R. \end{aligned} \]
3. 周期性をもつ条件（固有値解析）3.1 線形化と 2 変数系への簡約平衡点 $(S_*, E_*, I_*, R_*)$ のまわりで線形化すると、 周期性は主に $(E, I)$ の 2 変数系で決まる。 \[ \begin{aligned} \dfrac{dE}{dt} &= -\sigma E + \beta S_* I, \\ \dfrac{dI}{dt} &= \sigma E - \gamma I. \end{aligned} \] 3.2 固有値の一般式係数行列の固有値 $\lambda$ は次式を満たす： \[ \lambda^2 + (\sigma + \gamma)\lambda + \sigma(\gamma - \beta S_*) = 0. \] 判別式： \[ D = (\sigma + \gamma)^2 - 4\sigma(\gamma - \beta S_*). \] 周期性が現れる条件は $D < 0$、すなわち \[ \beta S_* > \gamma + \dfrac{(\sigma - \gamma)^2}{4\sigma}. \] 4. 周期日数と「免疫維持日数 × 2 + α」4.1 周期日数の一般式固有値が $\lambda = a \pm bi$ の形をとるとき、 周期 $T$ は虚数成分 $b$ により \[ T = \dfrac{2\pi}{|b|} \] で与えられる。4.2 $b$ の具体式\[ b^2 = 4\sigma(\beta S_* - \gamma) - (\sigma + \gamma)^2. \] 4.3 「免疫維持日数 × 2」が支配項になる理由免疫維持日数は $\delta^{-1}$ であり、 $R \to S$ の戻り時間を決めるため、 集団の循環周期の骨格を形成する。 経験的には、 \[ T \approx 2 \times (\text{免疫維持日数}) + \alpha \] となる。4.4 補正項 $\alpha$ の意味\[ \alpha = \left( \dfrac{2\pi}{|b|} \right) - 2 \times (\text{免疫維持日数}) \] であり、潜伏期間・発症期間・感染率・感受性保持者 $S_*$ の非対称性による補正項である。5. まとめ
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